Фамилия широко распространена единственно среди западных славян на Украине, в Чехии, в Польше. По распространению встречается у выходцев из этих стран в США и России. Как варианты может происходить от "лаба", т.е. "большая рука".
Фамилия Лабай ведет свое начало от прозвища Лабай. Прозвище Лабай, вероятно, восходит к глаголу «лабать» с несколькими значениями: «играть на музыкальном инструменте», «плясать» или «делать что-либо плохо, некачественно». Очевидно, что это прозвище указывает на то, что основатель рода Лабай был музыкантом, танцором или отличался несерьёзным отношением к своему делу. Менее вероятно, что Лабай – усёчённая форма восточного имени Аллабай, которое переводится как «Аллах-хозяин».
Источник: https://names.neolove.ru/last_names/11/la/labajj.html © NeoLove.ru