В.А.Плисс
О ЖИЗНИ И ТВОРЧЕСТВЕ АЛЕКСАНДРА МИХАЙЛОВИЧА Л Я П У Н О В А
к 150-летию со дня рождения
Род Ляпуновых ведет свое начало от галицкого князя Константина Ярославовича, младшего брата Александра Невского. Потомки Константина Ярославовича княжили в Галиче Костромском до второй половины XIV века, когда великий князь Московский Дмитрий Донской присоединил Галицкое
княжество к своим владениям. Впоследствии уже в начале XV века один из потомков князей Галицких боярин Ляпун Осинин, состоявший при новгородском архиепископе Пимене, оставил своим потомкам прозвище Ляпуновых. Один из этих потомков перешел на службу к рязанскому князю. Так Ляпуновы
обосновались на рязанской земле. Двое представителей рода Ляпуновых − братья Захарий и Прокопий принимали активнейшее участие в событиях смутного времени.
В дальнейшем род Ляпуновых постепенно захирел.
Отец Александра Михайловича Ляпунова Михаил Васильевич Ляпунов(1820-1868) − один из представителей рода Ляпуновых.
Михаил Васильевич Ляпунов был выдающимся астрономом. Вся его научная деятельность прошла в Казанском Университете. В 1850 году он получил пост директора Казанской обсерватории. В 1856 году Михаил Васильевич был назначен директором Демидовского лицея в Ярославле.
В 1857 году в Ярославле в семье Михаила Васильевича и его жены Софьи Александровны (урожденной Шипиловой) родился старший сын − Александр Михайлович Ляпунов, затем появились еще два сына − Сергей и Борис.
В 1864 г. Михаил Васильевич вышел в отставку, поселился с семьей в имении жены в Симбирской губернии и целиком посвятил себя воспитанию детей.Михаил Васильевич не только преподал сыновьям азы школьных знаний, но и сумел разглядеть и дать толчок в развитии их разнообразных дарований.
Сергей стал весьма заметным композитором, а Борис − выдающимсяспециалистом по славянской филологии (академик АН СССР с 1925 года).
После кончины отца в 1868 году Александр Миахайлович продолжал свое домашнее образование и в этот период неоднократно встречался со своим старшим родственником, выдающимся русским физиологом Иваном Михайловичем Сеченовым. Этот последний много занимался биологией с Александром и даже
читал ему специально подготовленные лекции.
В 1870 году Софья Александровна перевезла детей в Нижний Новгород, где Александр поступил в третий класс гимназии, которую и окончил в 1876 году с золотой медалью. В этом же году Александр Михайлович Ляпунов поступил на Естественное отделение физико-математического факультета Петербургского университета, однако через месяц перешел на Математическое отделение. Быть может сказалось влияние покойного отца − астронома, но только своей специальностью Ляпунов избрал астрономию.
Начались студенческие годы.
Это было время расцвета знаменитой Петербургской математической школы, созданной великим русским математиком Пафнутием Львовичем Чебышевым. Профессорами Петербургского Университета по математике были тогда сам Чебышев и его знаменитые ученики Коркин и Золотарев.
Занятиями по механике руководили выдающиеся ученые Поссе и Бобылев. В 1878 году на два года раньше Ляпунова окончил Петербургский Университет Андрей Андреевич Марков, с которым Александр Михайлович Ляпунов всю свою жизнь поддерживал тесное научное общение. Эта обстановка Петербургского Университета послужила благоприятной почвой для развития исключительного математического таланта Ляпунова.
В Университете Ляпунов уделял наибольшее внимание лекциям Чебышева, который по признанию самого Ляпунова "своими лекциями, а затем советами оказал существенное влияние на характер последующей деятельности его."
Первые самостоятельные научные шаги Ляпунова прошли под руководством профессора механики Петербургского Университета Дмитрия Константиновича Бобылева. Бобылев поставил перед своим студентом задачу о равновесии твердого тела, погруженного в трехслойную жидкость, расположенную
в сосуде конечных размеров. С этой задачей Ляпунов блестяще справился, за что и получил золотую медаль в 1880 году. Впоследствии результаты этой работы были опубликованы в виде двух статей: "О равновесии тяжелых тел в тяжелых жидкостях, содержащихся в сосуде определенной формы" и "О потенциале гидростатических давлений" (Журнал физико-химического общества, 1881).
В 1880 году Александр Михайлович Ляпунов окончил Петербургский Университет и был оставлен, по предложению Д.К.Бобылева, на кафедре механики.
Пришло время готовиться к получению магистерского звания. Два года ушли на подготовку к сдаче магистерстких экзаменов. В 1882 году экзамены были сданы и наступила пора приступать к работе над магистерской диссертацией. Возникла обычная в таких случаях очень серьезная проблема − выбор темы.
Вот что написал по этому поводу сам Александр Михайлович.
"В 1882 г., желая подыскать подходящую тему для магистерской
диссертации, я не раз беседовал с Чебышевым по поводу различных
математических вопросов, причем Чебышев всегда высказывал мнение,
что заниматься легкими, хотя бы и новыми вопросами, которые можно
разрешить общеизвестными методами, не стоит и что всякий молодой ученый,
если он уже приобрел некоторый навык в решении математических
вопросов, должен попробовать свои силы на каком-нибудь серьезном
вопросе, представляющем известные теоретические трудности. При этом
он предложил мне следующий вопрос: "Известно, что при некоторой
величине угловой скорости эллипсоидальные формы перестают служить
формами равновесия вращающейся жидкости. Не переходят ли они при
этом в какие-либо новые формы равновесия, которые при малом
увеличении угловой скорости мало отличались бы от эллипсоидов."
При этом он прибавил: "Вот если бы Вы разрешили этот вопрос,
на Вашу работу сразу обратили бы внимание.""
Впоследствии Ляпунову стало известно, что Чебышев предлагал эту же задачу и другим видным математикам, среди которых были знаменитые Золотарев и Ковалевская. Ни один из них не высказался по этому вопросу. Сам же Ляпунов приложил много усилий для того, чтобы хотя бы найти какие-либо пути к решению этой труднейшей задачи. Дело осложнялось еще и тем, что сам Чебышев не дал никаких указаний о возможных методах решения задачи. Все усилия Александра Михайловича оказались тщетными.
Позже Александр Михайлович Ляпунов неоднократно возвращался к проблеме Чебышева и даже, по-видимому, считал ее основным делом свой жизни. Труды Ляпунова, однако, не пропали даром. Вот, что он пишет.
"После нескольких неудачных попыток я должен был отложить решение вопроса
на неопределенное время. Но вопрос этот навел меня на другой, именно
на вопрос об устойчивости эллипсоидальных форм равновесия,
который и составил предмет моей магистерской диссертации."
Диссертация под названием "Об устойчивости эллипсоидальных форм равновесия вращающейся жидкости" (СПб., 1984) была защищена в январе 1885 года в Петербургском Университете.
Эта диссертация сделала имя Ляпунова известным в Европе. Сразу после ее выхода в свет краткое изложение ее появилось "Bulletin Astronomique". В 1904 году она была переведена, по инициативе Коссера (E.Cosserat), на французский язык и напечатана в "Annales de lsanitized_by_modx& #39Universite de Tolouse".
Весной 1895 года Ляпунов был утвержден в звании приват-доцента и тогда же получил предложение занять кафедру механики Харьковском университете, куда и переехал осенью того же года.
Первый Петербургский период жизни Ляпунова закончился.
В начале Харьковского периода, по свидетельству самого Ляпунова, его ученая деятельность должна была прекратиться. Приходилось вырабатывать курсы и составлять записки для студентов. При характерном для Александра Михайловича творческом подходе к делу это отнимало очнь много времени и сил.
На заседании Академии наук 3 мая 1919 года академик Владимир Андреевич
Стеклов − один из первых учеников Ляпунова в Харьковском университете − произнес речь, посвященную памяти своего учителя. Вот как он рассказывает о первом выступлении Ляпунова.
"В 1884 г., как известно, был разрушен Устав 1863 г., началась реакция
Делянова. В 1885 г. я был слушателем III курса и, как старый студент
устава 1863 г., состоял с большинством товарищей в крайней оппозиции
к новым порядкам. Когда мы, студенты, узнали, что к нам приехал из
Петербурга новый профессор механики, то сейчас же решили, что это
должно быть какя-нибудь жалкая посредственность из деляновских креатур ...
в аудиторию вместе с уважаемым всеми студентами старым деканом
профессором Леваковским вошел красавец мужчина, почти ровесник некоторым
из наших товарищей и, по уходе декана, начал дрожащим от волнения голосом
читать вместо курса динамики систем курс динамики точки, который мы уже
прослушали у профессора Деларю ... курс механики мне был уже знаком.
Но с самого начала лекции я услышал то, чего раньше не слыхал и не
встречал ни в одном из известных мне руководств. И все недружелюбие
курса сразу разлетелось прахом; силою своего таланта, обаянию которого
в большинстве случаев бессознательно поддается молодежь, Александр
Михайлович сам не зная того, покорил в один час предвзято настроенную
аудиторию."
До 1890 года Ляпунов один вел все преподавание механики в Харьковском университете. Лекции Александра Михайловича при всей ясности изложения были весьма сложны по существу, и понимать его
могли лишь самые одаренные из слушателей, да и то только при предельной концентрации внимания. Возникала масса вопросов, но спрашивать было стыдно, поэтому выделялся специальный ходатай для
выяснения этих сложностей.
Этим ходатаем был Владимир Андреевич Стеклов. Ляпунов охотно и очень подолгу с ним беседовал, добиваясь полного понимания сути дела. Так родилась дружба между Стекловым и его
великим учителем. Теснейшие дружеские отношения продолжались вплоть до кончины Александра Михайловича Ляпунова.
Во время зимнего перерыва в занятиях 1885/86 учебного года Александр Михайлович Ляпунов приезжал в Петербург, где 17 января 1886 года обвенчался со своей двоюродной сестрой Наталией Рафаиловной Сеченовой.
Несмотря на крайнюю занятость педагогической работой, Александр Михайлович находил время и силы для научной работы. В первые же два года он опубликовал две статьи по теории потенциала. Тогда же
он начал работать над проблемой устойчивости движений систем с конечным числом степеней свободы. Первая работа, касающаяся этой проблемы, "О постоянных винтовых движениях твердого тела в жидкости" была оубликована в 1888 г., а уже в 1892 году Александр Михайлович Ляпунов публикует свой знаменитый труд "Общая задача об устойчивости движения".
Эта работа немедленно вызвала весьма широкий резонанс как в России, так и за рубежом. Особый интерес вызвала "Общая задача ... " у французских математиков круга Пуанкаре. Знаменитый парижский математик и механик Поль Аппель, высказавший восторженный отзыв о работе, просил прислать перевод "Общей задачи ..." на французский язык для публикации его во Франции. Этот французский вариант и был опубликован в 1907 году в Тулузе.
Александр Михайлович Ляпунов начинает свой труд с того, что вводит определение устойчивости заданного движения.
Для решения задач теории устойчивости Ляпунов предлагает два подхода, которые называет просто: Первая метода и Вторая метода.
Первый метод Ляпунова состоит в том, чтобы построить в рядах решения заданной системы в окрестности состояния равновесия, и по виду этих рядов судить об устойчивости или неустойчивости этого состояния равновесия. В этом направлении Ляпунов доказал одну из своих самых замечательных теорем
− теорему об условной устойчивости. Подробнее о существе и судьбе этой теоремы я расскажу чуть позже.
Второй метод состоит в том, чтобы построить функцию (так называемую функцию Ляпунова), по которой можно было бы непосредственно, не прибегая к решению системы, судить об устойчивости или неустойчивости соответствующего решения. Об этих своих функциях Ляпунов доказал четыре теоремы − две об устойчивости и две о неустойчивости.
Далее Александр Михайлович Ляпунов высказывается следующим образом: "Варьируя условия, которым должны удовлетворять искомые функции, можно было бы, конечно, предложить и множество других теорем, подобных доказанным. Но для приложений, которые мы имеем в виду, последние совершенно достаточны. Поэтому ими и ограничимся."
Большая часть работы посвящена исследованию так называемых особенных случаев устойчивости установившихся и периодических движений. Коротко остановлюсь только на установившихся движениях. Особенные случаи это те, в которых для решения задачи об устойчивости не достаточно рассмотрения лишь первого линейного приближения. Из этих случаев Ляпунов рассмотрел два: случаи одного нулевого и двух чисто мнимых корней характеристического уравнения. В обоих этих случаях Ляпунов предлагает некоторый алгоритм, с которым может произойти одно из двух:
I. На некотором шаге специальная постоянная Ляпунова g окажется не равной нулю. В этом случае вопрос об устойчивости решается с помощью второй методы. Такие случаи Ляпунов назвал алгебраическими.
II. На любом шаге постоянная g равна нулю. Это трансцендентный случай по терминологии Ляпунова. В этом случае нулевое решение устойчиво. Предположим, что в случае двух чисто мнимых корней возникает трансцендентная ситуация, тогда алгоритм Ляпунова доставляет бесконечные ряды по степеням произвольной постоянной C с периодическими коэффициентами. Ляпунов доказывает сходимость этих рядов и получает, таким образом, двумерный аналитический диск, целиком заполненный
периодическими орбитами. Это, безусловно, один из центральных результатов всего труда.
В сентябре 1892 года "Общая задача об устойчивости движения" была защищена в Москве в качестве докторской диссертации, а в 1893 году Александру Михайловичу Ляпунову было присвоено звание ординарного профессора.
В последующие годы Александр Михайлович Ляпунов продолжал совмещать напряженную творческую работу с интенсивной педагогической деятельностью. Ему приходилось читать много разнообразных курсов. Дело дошло до того, что он стал читать курс теории вероятностей. Однако тогдашнее состояние этой науки не вполне удовлетворяло великого ученого.
В особенности его занимала восходящая еще к Лапласу и Пуассону проблема предельного распределения вероятностей суммы независимых случайных величин при неограниченном возрастании количества последних. Этой проблемой много занимался П.Л.Чебышев, который предложил специальный метод −
метод моментов − для ее разрешения. Однако рассуждения, проведенные им (это признавал и сам Пафнутий Львович) были не вполне строгими. Впоследствии Андрей Андреевич Марков, используя метод Чебышева, дал строгое доказательство, однако при весьма существенных ограничениях.
К началу 90-х годов XIX века Александр Михайлович Ляпунов, опираясь на свой оригинальный метод, дал полное доказательство предельной теоремы во всей ее общности. Теперь эта теорема так и называется
"Предельная теорема Ляпунова".
Русские ученые того времени весьма высоко ценили достижения своего гениального современника. Авторитет Ляпунова был поистине непререкаем. В 1901 году Александр Михайлович Ляпунов был избран
членом-корреспондентом Академии Наук, а уже в 1902 году - ординарным академиком по кафедре прикладной математики. Эта кафедра оставалась вакантной после смерти Пафнутия Львовича Чебышева, последовавшей в 1894 году. Таким образом, по Академии Наук Ляпунов оказался преемником своего
знаменитого учителя.
Осенью 1902 г. Александр Михайлович Ляпунов переехал в Петербург, и на этом закончился харьковский период его жизни. Впоследствии он очень тепло вспоминал харьковский период и называл его самым счастливым.
В Петербурге Ляпунов не занимался педагогической работой и посвятил все свое время исключительно науке. Он вернулся к той проблеме Чебышева, с которой начал свою научную деятельность. Проблема эта состоит в следующем. Покоящаяся в пустоте жидкая масса принимает форму шара. Ньютон утверждал, что если эта жидкость вращается вокруг оси, то она принимает форму двухосного эллипсоида. В середине XVIII века Маклорен математически доказал, что такой эллипсоид действительно будет равновесной фигурой вращающейся жидкости. Много лет спустя Якоби выяснил, что фигура равновесия может стать трехосным эллипсоидом. Его вывод был противен наглядным представлениям и физической интуиции. Многие ученые пытались опровергнуть Якоби. Однако Лиувилль, проведя полный и строгий математический анализ работы Якоби, подтвердил, что результаты последнего вполне верны.
Пафнутий Львович Чебышев поставил вопрос, не могут ли среди форм равновесия вращающейся жидкости появляться фигуры, отличные от эллипсоида. Этой-то проблеме и посвятил Александр Михайлович Ляпунов остаток своей жизни.
Начиная с 80-х годов XIX столетия проблема Чебышева, как ее называл Ляпунов, привлекала внимание многих крупнейших математиков.
Еще в 1885 году Пуанкаре опубликовал в знаменитом журнале "Comptes Rendus" заметку, в которой утверждал, что неэллипсоидальные или, как их он называл, грушевидные формы равновесия вращающейся жидкости существуют. Ляпунов попросил Пуанкаре прислать ему полные доказательства этого факта. Оказалось, что в своих рассужденияхПуанкаре не продвинулся дальше того, что было уже в магистерской диссертации Ляпунова. Уверенность же Пуанкаре в существовании новой фигуры равновесия базируется по его словам: "Только на некоторых аналогиях и на убеждении, что строгое доказательство, хоть оно пока и не найдено, все ж-таки может быть получено."
Такая приблизительность ни в коей мере не устраивала Ляпунова. В своих изысканиях он всегда придерживался кредо Чебышева:
"Коли задача теоретической механики сформулирована в строгих математических
терминах, то и доказательство дÓлжно проводить по всей строгости."
На поиски этих строгих доказательств Александр Михайлович Ляпунов истратил все силы своего гения. Его труды не пропали даром. Построив новые мощные методы исследования он разрешил задачу Чебышева − доказал существование неэллипсоидальных форм равновесия вращающейся жидкости. Более того, он доказал устойчивость одних из них и неустойчивость других.
По поводу этих работ Ляпунова Владимир Андреевич Стеклов высказался следующим образом:
"И тем подвигом, которым он пытался начать свою ученую деятельность,
он блестяще закончил, как увидим, свою славную жизнь, так преждевременно
прерванную. Работу, совершенную Александром Михайловичем, нельзя и
назвать иначе как подвиг."
Александр Михайлович Ляпунов был в полной мере признан в Европе.
В дополнение к уже сказанному по этому поводу замечу, что он был членом академии dei Lincei в Риме и члено-корреспондентом Парижской академии. В России же, особенно в Петербурге, его очень уважали. Многие молодые и не очень молодые математики внимательно читали его работы, и не
только читали, а прямо-таки штудировали их. Читать же Ляпунова далеко не просто. Случалось, что приходилось обращаться за разъяснениями к самому автору. В итоге получилось так, что несмотря на то, что формально Александр Михайлович Ляпунов отошел от преподавательской деятельности, вокруг него
образовалась группа молодых математиков более или менее регулярно встречавшихся с ним для научного общения. Ляпунов охотно встречался с этими людьми, подолгу и со всеми подробностями объяснял "темные места" в своих сочинениях.
Среди этих "слушателей" Ляпунова был и его дальний родственник, впоследствии знаменитый ленинградский математик академик Владимир Иванович Смирнов. Мне приходилось много работать с Владимиром Ивановичем (в частности, я помогал ему издавать полное собрание сочинений Ляпунова), и он много рассказывал об этих "семинарах" и о самом Александре Михайловиче.
Люди, не очень близко знавшие Ляпунова, отзывались о нем, как о человеке нелюдимом и угрюмом. В действительности все было совсем не так: эта его угрюмость происходила из того, что голова
была занята волновавшими его чрезвычайно трудными проблемами. Ляпунов был очень добрым, мягким и отзывчивым человеком с очень тонкой душой. Любил Александр Михайлович всякого рода общение с природой, например, кататься зимой на тройках, имел подлинную страсть к растениеводству −
его квартира напоминала миниатюрный ботанический сад, где росли всякие экзотические растения, включая деревья.
Труд Александра Михайловича Ляпунова о фигурах равновесия вращающейся жидкости был завершен в середине 1910-х годов. К этому времени резко ухудшилось и без того слабое здоровье Наталии Рафаиловны, жены Александра Михайловича, да и сам он заболел − стал очень быстро слепнуть. В надежде поправить здоровье Наталии Рафаиловны чета Ляпуновых в мае 1917 года прибывает в Одессу, где тогда жил брат Борис.
Однако это не помогло, и в октябре 1918 Наталии Рафаиловны не стало. В тот же день Александр Михайлович выстрелил в себя и, не приходя в сознание, через три дня скончался.
Так трагически оборвалась жизнь одного из величайших гениев постньютоновского периода.
Далее см. отдельные фрагменты презентации slides_va.ppt
Завещанием грядущим поколениям звучат слова А.М.Ляпунова:
"П.Л.Чебышев и его последователи остаются постоянно на реальной почве,
руководствуясь взглядом, что только те изыскания имеют цену, которые
вызываются приложениями (научными или практическими), и только те теории
действительно полезны, которые вытекают из рассмотрения частных случаев.
Детальная разработка вопросов, особенно важных с точки зрения приложений
и в то же время представляющих особенные теоретические трудности,
требующие изобретения новых методов и восхождения к принципам науки,
затем обобщение полученных выводов и создание этим путем более или
менее общей теории таково направление большинства работ П.Л.Чебышева и
ученых, усвоивших его взгляды."